北极星是永远不动的吗?

当然不是.
目前的北极星是小熊座α（中文名勾陈一）.
为什么叫它北极星呢?首先因为它的亮度还是不错的,为2.02等,是全天第50亮星,在城市里也可以轻松看到,还是一颗比较明亮的天体（楼主的说法有些欠妥）.
其次是它距离北天极比较近,因为它距离北天极只有半度,每天的周日运动仅仅是一个很小的圆,所以看起来好像近似不动.
北极星也是会移动的,第一是因为它依然会做天体周日运动,每天会画一个半径为半度的小圆.
其次是地球极轴的进动,因为极轴的进动,北天极会不断发生变化,这段时间在勾陈一附近,今后会到别的天体附近,比如在14000年后北极点会到织女星附近,那时候织女星将成为北极星,如今的北极星勾陈一,仅仅是一颗比较亮的星星了.没有指北的功能了.