已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点． （1）求证：BC1∥平面CA1D； （2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B； （3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=3，求三棱锥B1-A1DC的体积．

证明：（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE

∵四边形AA₁C₁C是矩形，则E为AC₁的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC₁，
又DE⊂面CA₁D，BC₁⊄面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D；
（2）AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA₁⊥面ABC，CD⊂面ABC，
∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD⊂面CA₁D，
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）则由（2）知CD⊥面ABB₁B，
∴三棱锥B₁-A₁DC底面B₁A₁D上的高就是CD=

3

，
又∵BD=1，BB₁=

3

，
∴A₁D=B₁D=A₁B₁=2，SA1B1D=

3

，
∴三棱锥B₁-A₁DC的体积VB1−A1DC=VC−A1B1D=

1

3

•

3

•

3

=1