一质量为m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为R=1m的光滑圆环，如图示，试求： （1）小球滑至圆环顶点时对环的压力； （2）小球至少应从多高处由静止

（1）设小球滑至环顶时速度为v₁，所受环的压力为N，选顶点为零势点，小球运动过程中机械能守恒，
机械能守恒定律及圆周运动的知识
得：mg(h−2R)＝

1

2

mv2
mg+FN＝m

v2

R

，
由以上方程联立得：F_N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度v₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁，为最低高度，
由机械能守恒定律及圆周运动知识
得：mg(h1−2R)＝

1

2

m

v

22

mg＝m

v 22

R

；
以上两式联立得：mg(h1−2R)＝

1

2

mgR
h1＝

1

2

R+2R＝

5

2

R＝2.5m
（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶前即与环脱离，设脱离时圆环的位置半径与竖直方向的夹角为θ，选轨道最低点为零势点，
由机械能守恒定律及圆周运动知识：mgh′＝

1

2

mv2+mg（R+Rcos）
mgcosθ=m

v2

R

两式联立得：cosθ=

2(h′−R)

3R

即cosθ=

2

3

；
所以θ=arccos

2

3

处小球与圆环脱离．
答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N；
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h₁=2m处由静止滑下时将在θ=arccos

2

3

处脱离圆环．