先证明对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:[0],[1],[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.
∴对于任意的五个自然数,其中必有3个数的和能被3整除
设这11个整数为:a1,a2,a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形
由上面知,在11个任意整数中,必存在:
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1;
同理,剩下的8个任意整数中,由上面,必存在:3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2;
同理,其余的5个任意整数中,有:3|a7+a8+a9,设:a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇(或同偶)的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则:6|b1+b2,即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.
若为10个整数,b3从剩下4个整数中不一定能找到三个数之和是3的倍数,所以任意10个整数不一定有6个整数的和能被6整除
证明:在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除,但任意10个整数未必有此性质.
证明:在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除,但任意10个整数未必有此性质.
数学人气:420 ℃时间:2019-12-17 08:02:21
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