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设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0为常数.,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.
设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0为常数.,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.
数学
人气:845 ℃
时间:2019-08-21 11:43:22
优质解答
由条件得:f(x)=
(1−a)x−a当x≥a时
−(1+a)x+a当x<a时
,(4分)
∵a>0,
∴-(1+a)<0,f(x)在(-∞,a)上是减函数.
如果函数f(x)存在最小值,
则f(x)在[a,+∞)上是增函数或常数.
∴1-a≥0,
得a≤1,
又a>0,∴0<a≤1.(5分)
反之,当0<a≤1时,
(1-a)≥0,∴f(x)在f[a,+∞)上是增函数或常数.
-(1+a)<0,∴f(x)在(-∞,a)上是减函数.
∴f(x)存在最小值f(a).
综合上述f(x)存在最小值的充要条件是0<a≤1,此时f(x)
min
=-a
2
(3分)
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