已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*. (1)证明:{an-1}是等比数列; (2)求数列{Sn}的通项公式.请指出n为何值时,Sn取得最小值,并说明理由.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.
(1)证明:{an-1}是等比数列;
(2)求数列{Sn}的通项公式.请指出n为何值时,Sn取得最小值,并说明理由.
数学人气:388 ℃时间:2020-04-28 01:19:59
优质解答
(1)∵S
n=n-5a
n-85,n∈N
*.
∴S
n+1=n+1-5a
n+1-85,n∈N
*.
两式作差得a
n+1=1-5a
n+1+5a
n,即6(a
n+1-1)=5(a
n-1),即(a
n+1-1)=
(a
n-1),n∈N
*.
故{a
n-1}是等比数列
(2)由(1)S
n+1=n+1-5a
n+1-85,n∈N
*.得S
n+1=n+1-5(S
n+1-S
n)-85,n∈N
*.
得6S
n+1=n+5S
n-84,即6[S
n+1-(n+1)]=5(S
n-n)-90,
即S
n+1-(n+1)=
(S
n-n)-15
整理得S
n+1-(n+1)+90=
(S
n-n+90)
故{S
n-n+90}是一个等比数列,其公比为
,由于a
1=1-5a
1-85,得a
1=-14
故{S
n-n+90}的首项为-14-1+90=75
故S
n-n+90=75×
()n−1,即S
n=n-90+75×
()n−1,
由于S
n+1-S
n=1-
×
()n−1,令S
n+1-S
n>0,对n赋值验证知n>15时成立,即S
n其最小值是S
15
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