已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方
已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方
数学人气:603 ℃时间:2019-09-28 09:17:43
优质解答
以题意做图见上,
证明:
把△ACF绕A点旋转90°,使AC和AB重合,设点F旋转到点G;
则有:△ABG ≌ △ACF ,
可得:AG = AF ,BG = CF ,∠GAB = ∠CAF ,
∠ABG = ∠ACF = 45° ,
则有:∠EAG = ∠EAB+∠GAB
= ∠EAB+∠CAF
= 90°-∠EAF = 45° = ∠EAF ;
∵在△EAG和△EAF中,AG = AF ,∠EAG = ∠EAF ,AE为公共边,
∴△EAG ≌ △EAF ,
∴EG = EF
∵∠EBG = ∠ABC+∠ABG = 90° ,
∴△EBG是直角三角形,
根据勾股定理有BE²+BG² = EG² ,
即有:BE²+CF² =EF² .
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