证明：若函数f（x）在x=0上连续,在(0,&)内可导,且当x趋向于0+时,lim f ' (x)=A.则f+'(x)存在且等于A.

说明极限lim(x→0+) (f(x)-f(0))/x＝A即可.由拉格朗日中值定理,f(x)-f(0)＝f'(ξ)x,ξ介于0与x之间,且随着x在变.所以x→0+时,ξ→0+.
所以,lim(x→0+) (f(x)-f(0))/x＝lim(x→0+) f'(ξ)＝lim(ξ→0+) f'(ξ)＝A,所以f+'(0)存在且等于A