已知函数f(x)=alnx/x+1+b/x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/x−1.
已知函数f(x)=
+
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>
.
数学人气:346 ℃时间:2019-10-10 05:07:32
优质解答
(I)
f′(x)=−.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
,且过点(1,1)
所以
=−解得a=1,b=1
(II)由(I)知f(x)=
+所以
f(x)−=(2lnx−)考虑函数
h(x)=2lnx−(x>0),
则
h′(x)=−=−所以当x≠1时,h′(x)<0而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>0可得
h(x)>0;
当
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0从而当x>0且x≠1时,
f(x)−>0即f(x)>
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