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已知函数f(x)=lnx-kx+1.求: (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
已知函数f(x)=lnx-kx+1.求:
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
数学
人气:358 ℃
时间:2020-05-05 01:33:46
优质解答
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1
x
-k.
当k≤0时,f′(x)=
1
x
-k>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k>0时,若x∈(0,
1
k
)时,有f′(x)>0,
若x∈(
1
k
,+∞)时,有f′(x)<0,
则f(x)在(0,
1
k
)上是增函数,在(
1
k
,+∞)上是减函数.
(2)由(1)知k≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,
又由(1)知f(x)的最大值为f(
1
k
),要使f(x)≤0恒成立,
则f(
1
k
)≤0即可,即-lnk≤0,得k≥1.
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