已知函数y=f（x）的定义域为R,且对任意a,b∈∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时f﹙x﹚＜0恒成立,证明

证明：由已知可知：f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0
f(a)=f(a+b)-f(b),令A=a+b,B=b,则f(A-B)=f(A)-f(B)
设X>Y>0,则f(X)-f(Y)=f(X-Y)
∵X>Y,∴X-Y>0,则f(X-Y)<0
故f(X)-f(Y)<0
即对于任意X>Y>0,总有f(X)所以f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(x)<0=f(0)
又∵f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)
∴f(x)在定义域R上为奇函数
∴根据奇函数的性质,f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f(x)>0=f(0)
综上所述：
f(x)在定义域R上为减函数