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设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.
设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N
*
},B={(x,y)|y=ax
2
-ax+a,x∈N
*
},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.
数学
人气:511 ℃
时间:2020-03-26 19:14:07
优质解答
假设A∩B≠∅,则方程组
y=2x−1
y=a
x
2
−ax+a
有正整数解,
消去y,得ax
2
-(a+2)x+a+1=0.(*)
由△≥0,得(a+2)
2
-4a(a+1)≥0,解得-
2
3
3
≤a≤
2
3
3
.
因a为非零整数,∴a=±1,
当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1,而x∈N
*
.故a≠-1.
当a=1时,代入(*),解得x=1或x=2,符合题意.
故存在a=1,使得A∩B≠∅,此时A∩B={(1,1),(2,3)}.
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