∫e^(-t^2)dt=√π,(-∞,+∞)
证明:
设I=∫e^(-x^2)dx,(-R,R)
则I=∫e^(-y^2)dy,(-R,R)
I^2=∫e^(-x^2)dx∫e^(-y^2)dy,x∈(-R,R),y∈(-R,R)
即I^2=∫∫e^[-(x^2+y^2)]dxdy,x∈(-R,R),y∈(-R,R)
转换坐标系,将直角坐标系转换成极坐标系
ρ^2=x^2+y^2
θ=arctany/x
则∫∫e^(-ρ'^2)ρ'dρ'dθ<I^2<∫∫e^(-ρ^2)ρdρdθ
ρ'∈[0,R),θ∈[0,2π];ρ∈[0,√2R),θ∈[0,2π]
而∫∫e^(-ρ^2)ρ'dρ'dθ,ρ'∈[0,R),θ∈[0,2π]
=π∫e^(-ρ'^2)dρ'^2,ρ'∈[0,R)
=π[1-e^(-R^2)]
∫∫e^(-ρ^2)ρdρdθ,ρ∈[0,√2R),θ∈[0,2π]
=π∫e^(-ρ^2)dρ^2,ρ∈[0,√2R)
=π[1-e^(-2R^2)]
所以π[1-e^(-R^2)]<I^2<π[1-e^(-2R^2)]
又因为limπ[1-e^(-R^2)]=limπ[1-e^(-R^2)]=π,I=∫e^(-t^2)dt,(-∞,+∞).R→+∞.
所以∫e^(-t^2)dt=√π,(-∞,+∞)
这个怎么证明,对e的-t的平方次方在实数范围内积分等于根号pi
这个怎么证明,对e的-t的平方次方在实数范围内积分等于根号pi
数学人气:748 ℃时间:2019-10-04 06:58:57
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