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若对任意θ∈R,不等式cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,求实数m的范围.
若对任意θ∈R,不等式cos
2
θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,求实数m的范围.
数学
人气:827 ℃
时间:2019-09-24 20:30:12
优质解答
设f(θ)=cos
2
θ+2msinθ-2m-2,
要使f(θ)<0对任意的θ总成立,当且仅当函数y=f(θ)的最大值小于零.
f(θ)=cos
2
θ+2msinθ-2m-2=1-sin
2
θ+2msinθ-2m-2=-(sinθ-m)
2
+m
2
-2m-1
∴当-1≤m≤1时,函数的最大值为m
2
-2m-1<0,解得1-
2
<m≤1;
当m≥1时,函数的最大值为f(1)=-2<0
∴m≥1时均成立;
当m≤-1时,函数的最大值为f(-1)=-4m-2<0,m>-
1
2
,矛盾无解.
综上得m的取值范围是m∈(1-
2
,+∞)
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