在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1-1)+n(n≥2,n∈N*) (1)求a2,a3的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前n项和Sn.
在数列{an}中,a1=1,an=2(an-1-1)+n(n≥2,n∈N*)
(1)求a2,a3的值;
(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
数学人气:284 ℃时间:2019-09-26 00:23:09
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(1)a
1=1,a
n=2a
n-1+n-2(n≥2,n∈N
*)
∴a
2=2a
1+2-2=2…(2分)
a
3=2a
2+3-2=5…(4分)
(2)证明:∵
==2∴数列{a
n+n}是首项为a
1+1=2公比为2的等比数列…(7分)
a
n+n=2•2
n-1=2
n,即a
n=2
n-n
∴{a
n}的通项公式为a
n=2
n-n…(9分)
(3)∵{a
n}的通项公式为a
n=2
n-n
∴S
n=(2+2
2+2
3+…+2
n)-(1+2+3+…+n)…(11分)
=
−=2n+1−…(12分)
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