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求函数u=xyz在附加条件1/x+1/y+1/z=1/a(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值.
求函数u=xyz在附加条件
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
a
(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值.
数学
人气:714 ℃
时间:2020-02-04 08:42:48
优质解答
利用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值.
F(x,y,z;λ)=lnx+lny+lnz−λ(
1
x
+
1
y
+
1
z
−
1
a
)
F
x
=
1
x
+λ
1
x
2
=0,
F
y
=
1
y
+λ
1
y
2
=0,
F
z
=
1
z
+λ
1
z
2
=0
λ=−3a,x=y=z=3a
极小值为27
a
3
.
.
(3a,3a,3a)是函数u=xyz在附加条件下的唯一可能极值点.
把附加条件确定的隐函数记为z=z(x,y),将目标函数看做u=xyz(x,y)=F(x,y),再应用二元函数极值的充分条件判断,可知点(3a,3a,3a)是极小值点.
故答案为:极小值为u(3a,3a,3a)=27a
3
.
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