公式-1的1次方+2的2次方+3的3次方+...+N的N次方=?

你的题目是不是有些问题,公式应该是1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 吧
1+2^2+3^+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
用科学归纳法：
1)n=1时,上式左边=1,右边=(1+1)(2+1)/6=1=左边.等式成立
2)设n=k时上式成立,即1+2²+3²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6
则n=k+1时,上式左边
=1+2²+3²+...+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)[2k²+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
=右边
等式成立
∴由1)和2)可知,上式对所有自然数n都成立.