函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 (1)求f'(x)
函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 (1)求f'(x)
(2)证明当x>=0时,不等式e^-x
(2)证明当x>=0时,不等式e^-x
数学人气:969 ℃时间:2019-10-11 14:22:29
优质解答
请问您的等式到底是什么?怎么等式里面还有区间?[0,x]∫f(t)dt的意思是积分的上下限是0到x首先移项,{f'(x)+f(x)}*(x+1)=∫f(t)dt然后两侧求导{f'‘(x)+f’(x)}*(x+1)+f'(x)+f(x)=f(x)化简上式f''(x)/f'(x)=-(x+2)/(x+1)解上述微分方程令f'(x)=p则有dp/p=-(x+2)/(x+1)*dx 化简继续dp/p={-1-1/(x+1)}*dx两侧取积分Lnp=-x-Ln(x+1)-Lnc即:Lnp=Lne^(-x)-Ln(x+1)-Lnc则有p=e^(-x)/(c*(x+1))即f'(x)=1/(c*e^x*(x+1))将x=0带入已知等式得到f'(0)=-1得到c=-1即f'(x)=-1/(e^x*(x+1))(2)显然f'(x)恒小于0即f(x)为减函数f(x)max=f(0)=1即有f(x)<=1∫f'(x)dx=∫-e^(-x)*1/(x+1)dx 又∵-e^(-x)*1/(x+1)>=-e^(-x)(放缩)∴∫f'(x)dx=∫-e^(-x)*1/(x+1)dx>=∫-e^(-x)dx即f(x)>=∫-e^(-x)dx即f(x)>=e^(-x)到此证毕!望采纳
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1好词摘抄 初中
- 2八年级上册数学题△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线
- 3翻译 how fun it is!she doesn`t go home for lunch but has it at school
- 4若P为直线l外一点,点A B C D为直线l上三点,PA=7CM PB=2.5CM PC=2CM,则点p到直线l距离为( )
- 5I will stay there for ---------
- 6一个自然数与它的倒数之和是5.2,这个自然数是_.
- 7用二氧化锰和过氧化氢制取氧气具体发生了怎么样的反应?
- 8如果代数式2A²+3A+1的值是6,则代数式6A²+9A+5的值是?
- 9把4m长的铁丝,平均截成5段,每段占全长的几分之几,每段长几分之几米.
- 10为什么要用9.8N/Kg表示G=m“g”的“g”?