如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果环在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知F=kv（

根据题意有对于小环的运动，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：
（1）当mg=kv₀时，即v₀=

mg

k

时，环做匀速运动，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零  
（2）当mg＞kv₀时，即v₀＜

mg

k

时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为W_f=

1

2

m

v

20

（3）当mg＜kv₀时，即v₀＞

mg

k

时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=

mg

k

时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功
W_f=

1

2

mv2−

1

2

m

v

20

＝

m3g2

2k2

−

1

2

m

v

20

环克服摩擦力所做的功为

1

2

m

v

20

−

m3g2

2k2

答：环在运动过程中克服摩擦力所做的功为：
（1）v₀=

mg

k

时，环做匀速运动，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零  
（2）v₀＜

mg

k

时，环克服摩擦力所做的功为W_f=

1

2

m

v

20

（3）v₀＞

mg

k

时，环克服摩擦力所做的功为

1

2

m

v

20

−

m3g2

2k2