已知集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-2ax+a+2≤0},若B⊆A,求实数a的取值范围.
已知集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-2ax+a+2≤0},若B⊆A,求实数a的取值范围.
数学人气:105 ℃时间:2020-02-10 04:03:24
优质解答
A={x|x
2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.
设f(x)=x
2-2ax+a+2,它的图象是一条开口向上的抛物线
(1)若B=ϕ,满足条件,此时△<0,即4a
2-4(a+2)<0,
解得-1<a<2;
(2)若B≠ϕ,设抛物线与x轴交点的横坐标为x
1,x
2,
且x
1≤x
2,欲使B⊆A,应有{x|x
1≤x≤x
2}⊆{x|1≤x≤4},
结合二次函数的图象,得
即
| 1−2a+a+2≥0 | 42−8a+a+2≥0 | 1≤a≤4 | 4a2−4(a+2)≥0 |
| |
解得
2≤a≤.
综上可知a的取值范围是
(−1,].
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