九年级二次函数知识点总结及求根公式

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数. 二次函数表达式的右边通常为二次三项式. II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c（a,b,c为常数,a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h,k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线. IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线 x = -b/2a. 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P. 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]. 当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上. 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小. 当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则抛物线的开口越小. 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右. 5.常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点. Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点. Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点. V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）, 即ax^2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根. 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根. 答案补充 画抛物线y＝ax2时,应先列表,再描点,最后连线.列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势. 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根,a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h＝0时,抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时,抛物线y＝ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2；如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数. 二次函数表达式的右边通常为二次三项式. x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)