设A为mxn实矩阵,A^tA是正定矩阵,
所以|A^tA|>0,从而(A^tA)的秩是n
从而方程(A^tA)X=0只有零解.
下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可.
1)设α设是方程AX=0的解,那么Aα=0
从而(A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0,即α是方程(A^tA)X=0的解
2)设α设是方程(A^tA)X=0的解,则(A^tA)α=0
从而α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=0
而Aα是mx1的矩阵,设Aα=(x1,x2,...,xm)^t
所以α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由于x1,x2,...,xm是实数,所以x1=x2=...=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解,
因此方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解,从而Ax=0只有零解.向量a1=(1,1,1)的七次方????这个有问题设与a1=(1,1,1)^t都正交的向量是a=(x,y,z)^t则x+y+z=0基础解系b1=(-1,1,0)^t, b2=(-1,0,1)^t其中b1,b2都与a1正交,再把b1,b2正交化,用施密特正交化公式可得a2=(-1,1,0)^ta3=b2-[b2,b1]/[b1,b1]*b1=(-1,0,1)^t-1/2*(-1,1,0)^t =(-1/2, -1/2, 1)注:[b2,b1]表示向量b2与向量b1的内积。 一般情况下:这种题目是求向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交的单位向量,否则答案不唯一的。方法就是上面的方法。
设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解 急
设A为mxn实矩阵,AtA为正定矩阵,证明线性方程AX=0只有零解 急
没人会做吗
没人会做吗
数学人气:362 ℃时间:2019-10-11 12:56:21
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