已知函数f(x)=ax/(x的平方-1)在(-1,1)上是减函数,求a的取值范围
已知函数f(x)=ax/(x的平方-1)在(-1,1)上是减函数,求a的取值范围
数学人气:587 ℃时间:2019-11-06 04:27:50
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∵f(x)=ax/(x^2-1),∴f′(x)=(ax^2-a-2ax^2)/(x^2-1)^2=-a(1+x^2)/(x^2-1)^2.∵x∈(-1,1),∴(1+x^2)/(x^2-1)^2>0,而f(x)在区间(-1,1)上是减函数,∴此时f′(x)<0,∴a>0....f′(x)是什么f′(x)是f(x)的导函数。估计你还没有学过导数的相关知识,下面用另法给出答案:引入两个自变量:x1、x2,且-1<x1<x2<1。显然有:1-x1^2>0、1-x2^2>0、x1x2+1>0、x2-x1>0。∵f(x)在区间(-1,1)上是减函数,∴f(x1)>f(x2),∴f(x1)-f(x2)>0,∴ax1/(x1^2-1)-ax2/(x2^2-1)>0,∴a[x1(x2^2-1)-x2(x1^2-1)]/[(x1^2-1)(x2-1)]>0,∴a(x1x2^2-x1-x2x1^2+x2)/[(1-x1^2)(1-x2^2)]>0,∴a(x1x2^2-x1-x2x1^2+x2)>0,∴a[(x1x2^2-x2x1^2)+(x2-x1)]>0,∴a[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]>0,∴a(x1x2+1)>0,∴a>0。∴满足条件的a的取值范围是(0,+∞)。
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