设 P{X=0}=P{X=1}=1/2,U(0,1)且X,Y 相互独立,求X+Y 的概率分布,⊙ o ⊙

把X表达成连续变量,则 f(x)=(1/2)δ(x)+(1/2)δ(x-1) --- 这里δ是脉冲函数.
f(y)=u(y)-u(y-1) --- 这里u是阶跃函数.
X,Y 独立,Z=X+Y,所以f(z)是f(x)和f(y)的卷积.
f(z)=f(x)*f(y) --- * 是卷积.x处要带入z.y处也要带入z.
f(z)=(1/2)(δ(z)+δ(z-1))*(u(z)-u(z-1))
=(1/2){δ(z)*u(z)-δ(z)*u(z-1)+δ(z-1)*u(z)-δ(z-1)*u(z-1)}
=(1/2){u(z)-u(z-1)+u(z-1)-u(z-2)}
{--- 这里运用δ函数的两个性质:(1) δ是卷积单位函数.(2) δ(z-a)会把位移传给与其卷积者.}
=(1/2){u(z)-u(z-2)}
=1/2,当 0