在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立． （1）求角C的最大值； （2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．

（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，
由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立，
∴△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos²C+3cosC-2≥0，
解得cosC≥

1

2

，
又0＜C＜π，当cosC=

1

2

时，角C取得最大值

π

3

．
（2）角C取得最大值时为

π

3

，
∵a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，
∴sin(

2π

3

−B)＝2sinB，化为cosB=

3

sinB，与sin²B+cos²B=1联立解得cos²B=

3

4

．
∴a=2b，∴B＜A，∴cosB＝

3

2

．
∴B=

π

6

．