定义域为R的奇函数fx是周期为2的函数 且当x∈(0,1)时 fx=2x次方/(4x次方+1)
定义域为R的奇函数fx是周期为2的函数 且当x∈(0,1)时 fx=2x次方/(4x次方+1)
(1)求f(x)在【-1,1】上的解析式
(2)当m取何值时,方程f(x)=m在r上有解?
(1)求f(x)在【-1,1】上的解析式
(2)当m取何值时,方程f(x)=m在r上有解?
数学人气:957 ℃时间:2019-08-19 15:36:07
优质解答
(1)由于f(x)是奇函数,且定义域为R,所以图像原点对称,f(-x)= -f(x).
那么令x∈(-1,0),-x∈(0,1),就满足f(x)=2x^2/(4x^2+1)代入得:f(-x)=2(-x)^2/(4(-x)^2+1)=2x^2/(4x^2+1),所以f(x)= -2x^2/(4x^2+1)
f(0)= -f(0)得到f(0)=0;
另外:由于f(x)的周期为2,那么f(-1)= f(1),但根据奇函数得到:f(-1)= - f(1)
联立上面2个式子,就可以得到f(-1)= f(1)=0
所以f(x)的解析式是一个分段函数(写成大括号形式,这里不方便打):当x∈(-1,0),f(x)= -2x^2/(4x^2+1);当x∈(0,1)时,f(x)=2x^2/(4x^2+1);当x=0,-1,1时,f(x)=0
这样第一小问得证
(2)由第一小问,你可以大致画出这个函数在 [-1,1]上的图像(单调递增),求得它的值域为(-2/5,2/5).再根据周期为2 这个条件,说明其他地方都是由这一小段平移过去而得到的.所以求当m取何值时,方程f(x)=m在r上有解?实际上等价于求求解当m取何值时,方程f(x)=m在x∈[-1,1]上有解?那么最后m的取值范围就是(-2/5,2/5).
得证.
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