离散数学题,设R是A上的二元关系,定义S={(a,b)|∃ c∈A,(a,c)∈R,(c,b)∈R},证明

因为R是A上的等价关系所以A在R上具有自反性,∃ c∈A,(a,c)∈R,(c,b)∈R 所以集合s中∃ c∈A（c,c）∈R 则s在A上也有自反性.A在R上具有对称性,∃ c∈A,(a,c)∈R,(c,b)∈R （隐含a,b也在集合A上） 转化为∃ c∈A,(c,a)∈R,(b,c)∈R 所以（a,b）∈s,则（b,a）∈s A在S上具有对称性 又因为R具有传递性,∃ c∈A,(a,c)∈R,(c,b)∈R（隐含a,b也在集合A上）从而易知S也具有对称性.S满足以上三种性质,也是A上等价关系 上述描述可知每个在A上有序对也都在S上所以 S=R