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已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较
已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD
1
上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为( )
A.
π
9
B.
2π
9
C.
π
3
D.
4π
9
数学
人气:825 ℃
时间:2019-12-20 22:33:20
优质解答
如图可得,端点N在正方形ABCD内运动,(N与D不重合)连接N点与D点
由ND,DM,MN构成一个直角三角形,
设P为MN的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化,P点到D点的距离始终等于1.
N与D重合也满足题意,∠ADC=120°
故P点的轨迹是一个以D中心,半径为1的半球的
1
3
.
所以所求体积为:
1
3
×
1
2
×
4
3
π
=
2π
9
,
故选B.
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