已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上

（Ⅰ）由 

5

9

＝e2＝

a2−b2

a2

＝1−

b2

a2

，得 

b

a

＝

2

3

．…（2分）
依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是

x2

9

+

y2

4

＝1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以 y1+y2＝

−16m

4m2+9

，y1y2＝

−20

4m2+9

．…（8分）
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
设P（a，0），则有 

y1

x1−a

+

y2

x2−a

＝0．
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 

2my1y2+(2−a)(y1+y2)

(my1+2−a)(my2+2−a)

＝0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
将 y1+y2＝

−16m

4m2+9

，y1y2＝

−20

4m2+9

代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以 a＝

9

2

．
综上，存在定点P(

9

2

，0)，使PM平分∠APB．…（14分）