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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证: (1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB•AD.
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证:
(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC
2
=AB•AD.
数学
人气:413 ℃
时间:2019-08-20 00:29:24
优质解答
证明:(1)∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,
即∠ACD+∠ACO=90°.①(2分)
∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,
∴∠AOC=180°-2∠ACO,即∠AOC+2∠ACO=180°,
两边除以2得:
1
2
∠AOC+∠ACO=90°.②(4分)
由①,②,得:∠ACD-
1
2
∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD;(5分)
(2)如图,连接BC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.(6分)
在Rt△ACD与Rt△ABC中,
∵∠AOC=2∠B,
∴∠B=∠ACD,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,(8分)
∴
AC
AB
=
AD
AC
,即AC
2
=AB•AD.(9分)
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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证: (1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB•AD.
已知:如图,AB是⊙O的切线,切点为A,OB交⊙O于C且C为OB中点,过C点的弦CD使∠ACD=45°,AD的长为22π,求弦AD、AC的长.
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