过椭圆x216+y24=1内一点M（1，1）的弦AB． （1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程； （2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．

y-1=k(x-1) x2 16 + y2 4 =1

得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M(1，1)是AB中点，则

x1+x2

2

=1．
综上，得

8k(k-1)

1+4k2

=2，解得k=-

1

4

．
∴直线AB的方程为y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴k_AB=k_MP
即(-

1

4

)•

x1+x2

y1+y2

=

y-1

x-1

，而x1+x2=2x，y1+y2=2y
∴(-

1

4

)

2x

2y

=

y-1

x-1

，整理，得轨迹方程为x2+4y2-x-4y=0．