证明:
设A(a,b),B(c,d)
因为抛物线y^2=2px(p>0)的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB
所以
b^2=2pa.(1)
d^2=2pc.(2)
(b/a)*(d/c)=-1,即ac+bd=0.(3)
由(1)-(2)得
(b^2-d^2)/(a-c)=2p
(b-d)/(a-c)=2p/(b+d).(4)
由(1)得
a=(b^2)/2p.(5)
由(2)得
c=(d^2)/2p.(6)
把(5)(6)代入(3)得
((bd)^2)/(4(p^2))+bd=0
因为bd≠0
bd/(4(p^2))+1=0
bd=-4(p^2).(7)
直线AB过A点,且斜率为(b-d)/(a-c)
即方程为y-b=((b-d)/(a-c))(x-a)
把(4)代入y-b=(2p/(b+d))(x-a)
(b+d)y-b^2-bd=2px-2pa
把(1)代入得
(b+d)y-2pa-bd=2px-2pa
(b+d)y-bd=2px
2px-(b+d)y+bd=0
把(7)代入得
2px-(b+d)y-4(p^2)=0
所以直线恒过(2p,0)
所以AB交抛物线轴上的一个定点(2p,0)
抛物线y^2=2px(p>0)的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB ,求证:AB交抛物线轴上的一个定点
抛物线y^2=2px(p>0)的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB ,求证:AB交抛物线轴上的一个定点
数学人气:695 ℃时间:2019-08-22 09:50:05
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