考试用 将级数∑(n=1到无穷)x^n+1/n!的和函数展成x-1的幂级数

这个式子的和函数S(x)=x( e^x- 1 )
然后用泰勒公式将它在x-1处展开,和函数的一阶导函数：e^x- 1+ x e^x
二阶导函数开始就是有规律的,n阶导函数等于：n e^x + x e^x
所以展开成x-1处的幂级数就是 (e-1)(x-1)^0 +(2e-1)(x-1)^1+ (3e-1)(x-1)^2/2!+.
由此可见,在x-1处的幂级数展开为：∑(n=0到无穷) [(n+1)e-1](x-1)^n /n!