数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列,求证:3A-B+C=0.
数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列,求证:3A-B+C=0.
数学人气:384 ℃时间:2020-03-25 13:49:54
优质解答
因为{a
n}为等差数列,设公差为d,由a
n+S
n=An
2+Bn+C,
得a
1+(n-1)d+na
1+
n(n-1)d=a
n+S
n=An
2+Bn+C,…(2分)
即(
d-A)n
2+(a
1+
-B)n+(a
1-d-C)=0对任意正整数n都成立.…(4分)
所以
,∴A=
d,B=a
1+
d,C=a
1-d,
所以3A-B+C=0. …(10分)
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