如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DF⊥AC,E是DF的中点,联结AE、BF.求证:(1)DF2=CF•AF; (2)AE⊥BF.
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DF⊥AC,E是DF的中点,联结AE、BF.求证:(1)DF
2=CF•AF; (2)AE⊥BF.
数学人气:196 ℃时间:2019-08-17 23:32:58
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证明:(1)取CF的中点G,连接DG,DA,
∵D是BC的中点,AB=AC,
∴AD⊥BC
,
∵DF⊥AC,
∴∠DAF=∠FDC,
∴△DAF∽△DFC,
∴AF:DF=DF:CF,
∴DF
2=CF•AF;
(2)∵E是DF的中点,G是FC的中点,
∴AF:DF=EF:FG,
∴△AFE∽△DFG,
∴∠FAE=∠FDG,
∵G是FC的中点
∴在△CBF中,DG∥BF,
∴∠GDF=∠BFD,
∴∠FAE=∠BFD,
∵AF⊥DF,
∴∠FAE+∠FEA=90°,
∴∠BFD+∠FEA=90°,
∴AE⊥BF.
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