如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,以点A(0,-3)为圆心,5为半径作圆A,交x轴于B,C两点,交y轴于点D,E两点.
(1)求点B,C,D的坐标;
(2)一个二次函数图象经过B,C,D三点,求这个二次函数解析式;
(3)P为x轴正半轴上的一点,过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线,交上述二次函数图象于点F,当△CPF中一个内角的正切值为
时,求点P的坐标.
(1)∵点A的坐标为(0,-3),线段AD=5,
∴点D的坐标(0,2),
连接AC,如图所示:
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,OA=3,AC=5,
∴OC=4,
∴点C的坐标为(4,0);同理可得点B坐标为(-4,0);
(2)设所求二次函数的解析式为y=ax
2+bx+c,
由于该二次函数的图象经过B,C,D三点,
则
,
解得:
,
∴所求的二次函数的解析式为y=-
x
2+2;
(3)设点P坐标为(t,0),由题意得t>5,
且点F的坐标为(t,-
t
2+2),PC=t-4,PF=
t
2-2,
∵∠CPF=90°,
∴当△CPF中一个内角的正切值为
时,
①若
=
时,即
=
,解得t
1=12,t
2=4(舍);
②当
=
时,即
=
,解得t
1=0(舍),t
2=4(舍),
则所求点P的坐标为(12,0).