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已知函数f(x)=a/x+lnx−1,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1,求函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,且对x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
已知函数
f(x)=
a
x
+lnx−1,a∈R
.
(1)若曲线y=f(x)在P(1,y
0
)处的切线平行于直线y=-x+1,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,且对x∈(0,2e]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
数学
人气:344 ℃
时间:2019-08-19 16:55:04
优质解答
(1)直线y=−x+1斜率
k
AB
=1,函数y=f(x)的导数f′(x)=−
a
x
2
+
1
x
f′(1)=−a+1=−1,即a=2
∴f(x)=
2
x
+lnx−1,f′(x)=−
2
x
2
+
1
x
=
x−2
x
2
∵f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=−
2
x
2
+
1
x
=
x−2
x
2
由f′(x)>0得x>2,由f′(x)<0得0<x<2.
∴函数f(x)的单调增区间(2,+∞),单调减区间是(0,2)
(2)∵a>0,f(x)>0,对x∈(0,2e]恒成立,
即
a
x
+lnx−1>0对x∈(0,2e]恒成立
设a>x(1-lnx)=x-xlnx,x∈(0,2e],
g
′
(x)=1-lnx-1=-lnx
当0<x<1时,g
′
(x)>0,g(x)为增函数,
当1<x<2e,g
′
(x)<0,g(x)为减函数,
∴当x=1时,函数在(0,2e]上取得最大值,
∴g(x)≤g(1)=1
∴a的取值范围是(1,+∞)
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