一、
令y = f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) )
则:
x + √(x^2-1) = a^y
√(x^2-1) = a^y - x
x^2 - 1 = (a^y - x)^2 = x^2 - 2x*a^y + a^2y
2x*a^y = a^2y + 1
x = (a^2y + 1) / 2a^y = [ a^y + a^(-y) ] / 2
故f(x)的反函数为:
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2
f(x)的反函数的定义域即为f(x)的值域.
显然,x+√(x^2-1)是关于x的增函数,而x>1,所以:
x+√(x^2-1) > 1+√(1^2-1) = 1
而a>1,故:
f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) ) > log(a)(1) = 0
即f(x)的值域为:(0,+∞)
f^(-1)(x)的定义域同样为:(0,+∞)
二、第二个问需要利用到第一个问.
注意到:
g(x) = [ 2^x + 2^(-x) ] / 2 ……(1)
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2 ……(2)
两个表达式非常相似,只是前者底数是2,后者是a.
对(2)反过来变化一下,因为f(x)反函数的反函数就是本身,所以有:
x = log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) ……(3)
同样,对(1)式,有:
x = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) ) ……(4)
题目是在x相等的情况下,比较g(x)与f^(-1)(x)的大小.
因此,我们在(3)(4)二式相等的情况下比较g(x)与f^(-1)(x):
log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) )
由于a
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