某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm,宽18cm的薄铁板上截出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆,他先画了草图,但他在求小圆的半径时遇到了困难,请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.
某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm,宽18cm的薄铁板上截出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆,他先画了草图,但他在求小圆的半径时遇到了困难,请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.
数学人气:803 ℃时间:2020-04-16 15:34:08
优质解答
设⊙O,⊙O
1与矩形的一边的切点分别为B,C(如图所示).
连接OB,O
1C,OO
1,过O
1作O
1A⊥OB,垂足为A,
由题中条件易知⊙O的直径为18cm,
于是OB=9cm;
设⊙O
1的半径为r,则O
1C=r.
由∠OBC=∠O
1CB=∠O
1AB=90°,
得四边形AO
1CB是矩形,AB=O
1C=r.
又OO
1=OB+r=9+r,BC=25-9-r,AO
1=BC,
在Rt△OAO
1中,OO
12=AO
2+AO
12,
即(9+r)
2=(9-r)
2+(25-9-r)
2,
解这个方程得r
1=4,r
2=64.
∵64>18,
∴r=64不合题意,取r=4,
即小圆的半径为4cm;
另如图,连接OO
1、O
1O
2、O
2O,则△OO
1O
2是等腰三角形.
作OA⊥O
1O
2,垂足为A,则O
1A=O
2A.…2分
∵薄铁板的宽是18cm,
∴大圆的半径是9cm.设小圆的半径为xcm,
则OO
1=9+x,O
1A=
O
1O
2=
(18-x-x)=9-x,OA=25-9-x,
在Rt△OAO
1中,OO
12=OA
2+O
1A
2,即(9+x)
2=(9-x)
2+(25-9-x)
2.…5分
整理,得x
2-68x+256=0.解得x
1=4,x
2=64.…8分
∵x
2=64>9,不合题意,舍去.∴x=4.
答:两个小圆的半径是4cm.…10分
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