高二数学：已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于A B两点. 求|AB|最

x^2 + y^2 = 4是圆心为原点,半径为2的圆.
过点P（1,0）的直线与圆相交于A,B两点,则|AB|的最大值为圆的直径,等于4.不是椭圆吗？？？化成x2／2＋y2／4＝1！那题目就是，2x^2 + y^2 = 4...
过 点P(1,0)的直线为，y = k(x-1),
直线和椭圆有2个交点。
设这2个交点的横坐标分别为，x(1)和x(2)
则x(1),x(2)应满足如下的方程
4 = 2x^2 + y^2 = 2x^2 + [k(x-1)]^2 = 2x^2 + k^2(x^2 - 2x + 1),
0 = (2+k^2)x^2 - 2k^2x + k^2 - 4.

Delta = (2k^2)^2 - 4(2+k^2)(k^2-4) = 4k^4 - 4(k^4 - 2k^2 - 8) = 4(2k^2 + 8) > 0,

因此，
x(1) = [2k^2 + 2(2k^2+8)^(1/2)]/(4+2k^2) = [k^2 + (2k^2+ 8)^(1/2)]/(2+k^2)或
x(2) = [2k^2 - 2(2k^2+8)^(1/2)]/(4+2k^2) = [k^2 - (2k^2 + 8)^(1/2)]/(2+k^2).

x(1)-x(2) = 2(2k^2+8)^(1/2)/(2+k^2).

|AB|^2 = [x(1)-x(2)]^2 + [kx(1)-k-kx(2)+k]^2 = (k^2 + 1)[x(1)-x(2)]^2
= (k^2 + 1)[4(2k^2+8)/(2+k^2)^2]
= 8(k^2 + 1)(k^2+4)/(k^2+2)^2
= 8(k^2+2-1)(k^2+2+2)/(k^2+2)^2
= 8(t-1)(t+2)/t^2, t = k^2 + 2>=2.
= 8(t^2 +t - 2)/t^2
= 8(1 + 1/t - 2/t^2)
= 8(1 + u - 2u^2), u=1/t, 0= f(u), 0
f'(u) = 8(1 - 4u)

00, f(u)单调递增，8 = f(0) <= f(u) <= f(1/4) = 8(1+1/4- 1/8) = 9.
1/4
所以，|AB|^2的最大值为9，|AB|的最大值为3。