复合函数求导公式是如何推导出来的?

复合函数求导公式是如何推导出来的?
设y=f(u),u=g(x)
则f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
    du = dg(x) = g'(x)dx
则原式=
   f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
   f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
                 = ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx  = f'(x)
上述证明是否正确,如果正确的话,为什么说df/dx = df/du  *   du/dx   中的du不可以约去,上述证明中g'(x)的移位不是与du的约去本质相同吗?
上述证明如果错误,请给出正确的证明,并说明不同之处在哪里?
如果以下是对的,请说明设v 和u 的意义在哪里?如果把u ,v消去,得到的等式与上述我的证明不是一样的吗?


首先,根据定义：当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看.
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)