设A为m乘n实矩阵,且r（A）=m

题目应该是A乘A的转置为m阶正定矩阵.
(AAT)T=AAT为对称阵
任取m维向量x,考察xT(AAT)x=((ATx)T)ATx
设xi为向量Ax的第i个元素,则((ATx)T)ATx=x1*x1+…+xn*xn>=0
r(A)=m,ATx=0可推出x=0（原因是解空间维度为m-m=0）
因此,仅当x=0时xT(AAT)x=0
A乘A的转置为m阶正定矩阵,命题得证