已知数列{an}的各项均为正数,它的前n项和Sn满足Sn=1/6(an+1)(an+2),并且a2,a4,a9成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n+1anan+1,Tn为数列{bn}的前n项和,求T2n.
已知数列{a
n}的各项均为正数,它的前n项和S
n满足
Sn=(an+1)(an+2),并且a
2,a
4,a
9成等比数列.
(1)求数列{a
n}的通项公式;
(2)设b
n=(-1)
n+1a
na
n+1,T
n为数列{b
n}的前n项和,求T
2n.
数学人气:617 ℃时间:2020-02-27 10:17:26
优质解答
(1)∵对任意n∈N*,有
Sn=(an+1)(an+2)①当n≥2时,
有
Sn−1=(an−1+1)(an−1+2)②
当①-②并整理得(a
n+a
n-1)(a
n-a
n-1-3)=0,
而{a
n}的各项均为正数,所以a
n-a
n-1=3.
∴当n=1时,有
S1=a1=(a1+1)(a1+2),解得a
1=1或2,
当a
1=1时,a
n=1+3(n-1)=3n-2,此时a
42=a
2a
9成立;
当a
1=2时,a
n=2+3(n-1)=3n-1,此时a
42=a
2a
9不成立;舍去.
所以a
n=3n-2,n∈N*,
(2)T
2n=b
1+b
2+…+b
2n
=a
1a
2-a
2a
3+a
3a
4-a
4a
5+…-a
2na
2n+1
=a
2(a
1-a
3)+a
4(a
3-a
5)+…+a
2n(a
2n-1-a
2n+1)
=-6a
2-6a
4-…-6a
2n=-6(a
2+a
4+…+a
2n)
=
−6×=−18n2−6n.
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