从小到大排列的三个数构成等比数列,它们的积为8,并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若bn=an+1an+anan+1,数列{bn}的前项和为
从小到大排列的三个数构成等比数列,它们的积为8,并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{a
n}中的a
3、a
4、a
5.
(Ⅰ)求数列{a
n}的通项公式;
(Ⅱ)若b
n=
+
,数列{b
n}的前项和为T
n,求T
n.
数学人气:314 ℃时间:2020-03-23 17:56:57
优质解答
(Ⅰ)设小到大排列的三个数分别为
,a,aq,则
⋅a⋅aq=a3=8,解得a=2.所以这三个数为
,2,2q.这三个数分别加上2、2、1后为
+2,4,2q+1,即
a3=+2,a4=4,a5=2q+1,
又a
3、a
4、a
5为等差数列,所以a
3+a
5=2a
4,即
+2+2q+1=2×4=8,即2q
2-5q+2=0.解得q=2或q=
.
因为三个数是从小到大成等比数列,所以q=
不成立,舍去,所以q=2.
所以三个数为,1,2,4.即a
3=3,a
4=4,a
5=5.
所以公差d=1,所以数列{a
n}的通项公式为
an=a3+(n−3)=n,n∈N•.
(Ⅱ)因为
bn=+=+=2+−,
所以
Tn=(2+1−)+(2+−)+…+(2+−)=
2n+1−+−+…+−=2n+1−=2n+.
即数列{b
n}的前项和为
Tn=2n+,n∈N•.
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