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设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax
2
+2bx+c=0,bx
2
+2cx+a=0,cx
2
+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.
数学
人气:274 ℃
时间:2019-09-29 14:55:47
优质解答
证明:假设题中的三个方程都有两个相等的实数根,不妨设这三个方程的根的判别式为△
1
,△
2
,△
3
,
则有
△
1
=4
b
2
−4ac=0 ①
△
2
=4
c
2
−4ab=0 ②
△
3
=4
a
2
−4bc=0 ③
.
由①+②+③得:a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc=0,
有2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2ac-2bc=0,
即(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
=0,
∴a=b=c,这与已知a,b,c为互不相等的非零实数矛盾,
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根.
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