已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',AA'⊥平面ABCD,AB=4,AD=2,B'D⊥BC,直线B'D与平面ABCD的夹角为30°,

第一个问题：
延长AB至E,使BE＝AB,连结B′E、DE.　显然有：AE＝2AB＝8.　再取B′D的中点为F.
∵ABCD－A′B′C′D′是平行六面体,∴AD∥BC、AA′∥BB′.
由AD∥BC、B′D⊥BC,得：B′D⊥AD.
由AA′⊥平面ABCD、AA′∥BB′,得：BB′⊥平面ABCD,∴BB′⊥BD,∴∠B′DB＝30°,
∴B′D＝2BD、BB′＝√3BD.
由勾股定理,有：AB′^2＝AD^2＋B′D^2、且AB′^2＝AB^2＋BB′^2,
∴AD^2＋B′D^2＝AB^2＋BB′^2,∴4＋4BD^2＝16＋3BD^2,∴BD^2＝12,∴BD＝2√3.
由AD＝2、AB=4、BD＝2√3,得：AD^2＋BD^2＝AB^2,
∴由勾股定理的逆定理,得：AD⊥BD,∴cos∠BAD＝AD/AB＝2/4＝1/2.
由余弦定理,有：DE^2＝AD^2＋AE^2－2AD×AEcos∠BAD＝4＋64－2×2×8×（1/2）＝52,
∴DE＝2√13.
∵B′D＝2BD、BB′＝√3BD,BD＝2√3,∴B′D＝4√3,BB′＝6,∴AA′＝6.
显然有：A′B′＝AB＝BE、A′B′∥AE,∴A′B′EB是平行四边形,
∴B′E＝A′B＝√（AA′^2＋AB^2）＝√（36＋16）＝2√13.
由DE＝2√13、B′E＝2√13,得：DE＝B′E,∴EF⊥B′F.
∴cos∠DB′E＝B′F/B′E＝（B′D/2）/B′E＝2√3/（2√13）＝√39/13,
∴∠DB′E＝arccos（√39/13）.
∵ABCD－A′B′C′D′是平行六面体,∴CD′∥A′B.
∵A′B′EB是平行四边形,∴A′B∥B′E.
由CD′∥A′B、A′B∥B′E,得：CD′∥B′E,∴∠DB′E＝B′D与CD′所成的角,
∴B′D与CD′所成的角为arccos（√39/13）.
第二个问题：
很明显,△ABD的面积＝（1/2）AD×BD＝（1/2）×2×2√3＝2√3,
∴ABCD的面积＝2△ABD的面积＝4√3.
∴ABCD－A′B′C′D′的体积＝ABCD的面积×BB′＝4√3×6＝24√3.