已知函数f（x）=ax2-（2a-1）x-lnx（a∈R且a≠0） （Ⅰ）当a=2时，判断函数f（x）在区间（1/e ， e）上的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）若函数f（x）在（1，e）上是单调函数，求a的取值范围．

（I）当a=2时，f（x）=2x²-3x-lnx
f'（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x-1)

x

∴当x∈（

1

e

，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，e）时，f'（x）＞0
即f（x）在（

1

e

，1）上递减，在（1，e）上递增，
∵f（1）=-1＜0，f（

1

e

）=

(e-1)(e-2)

e2

＞0，f（e）=2e²-3e-1＞0
∴函数f（x）在区间（

1

e

 ， e）上有两个零点
（ II）∵a≠0f′(x)=

(2ax+1)(x-1)

x

∴f'（x）=0的根是1 ， -

1

2a

…（8分）
当-

1

2a

≤1时，f'（x）在（1，e）上恒大于0，或者恒小于0，
∴函数f（x）在（1，e）上单调，
故a＞0 或a≤-

1

2

…（11分）
当-

1

2a

＞1时，若函数f（x）在（1，e）上单调，则-

1

2a

≥e，故-

1

2e

≤a＜0，…（14分）
综上a≤-

1

2

或-

1

2e

≤a＜0或a＞0．…．…（15分）