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是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
是否存在一个实数k,使方程8x
2
+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?
数学
人气:107 ℃
时间:2019-10-23 14:46:48
优质解答
设直角三角形两个锐角为α,β,则sinα,sinβ是方程8x
2
+6kx+2k+1=0的两个根.
∵α+β=90°,∴sinβ=cosα
根与系数的关系,得
sinα+cosα=−
3k
4
①
sinαcosα=
2k+1
8
②
①
2
-2×②得9k
2
-8k-20=0
∴k
1
=2,k
2
=-
10
9
当k=2时变为8x
2
+12x+5=0,
△=144-160<0
∴k=2舍去.
将k=-
10
9
代入②,得sinα•cosα=sinα•sinβ=-
11
72
,
∴sinα,sinβ异号,应有sinα<0或sinβ<0,实际上sinα>0,sinβ>0,
∴k=-
10
9
不满足题意,
∴k值不存在.
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