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已知椭圆x216+y24=1的左、右顶点分别为A、B,曲线E是以椭圆中心为顶点,B为焦点的抛物线. (Ⅰ)求曲线E的方程; (Ⅱ)直线l:y=k(x-2)与曲线E交于不同的两点M、N,当AM•AN≥68时,求直
已知椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1的左、右顶点分别为A、B,曲线E是以椭圆中心为顶点,B为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)直线l:y=
k
(x-2)与曲线E交于不同的两点M、N,当
AM
•
AN
≥68时,求直线l的倾斜角θ的取值范围.
数学
人气:210 ℃
时间:2019-11-06 18:50:19
优质解答
(Ⅰ)依题意得:A(-4,0),B(4,0)
∴曲线E的方程为y
2
=16x.-------(2分)
(Ⅱ)由
y=
k
(x−2)
y
2
=16x
得:kx
2
-(4k+16)x+4k=0
由
△=(4k+16
)
2
−16
k
2
>0
k>0
解得:k>0----------(4分)
设设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则:
x1+x2=
4k+16
k
,x1x2=4
∴
AM
•
AN
=(x1+4,y1)(x2+4,y2)=(x1+4)(x2+4)+y1y2
=(k+1)x1x2+(4-2k)(x1+x2)+16+4k=
64
k
+4≥68----------(6分)
∴0<k≤1,
∴θ∈(0,
π
4
]----------(8分)
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