已知椭圆C1:x2/4+y2/3=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1,C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

已知椭圆C1:x2/4+y2/3=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1,C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB垂直于X轴时,求m,p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上.
(2)是否存在m,p的值,使C2的焦点恰在直线AB上,若存在,请予以推倒并求出,若不存在,请说明理由.